Mathematical Operations and Elementary Functions

Julia, tüm sayısal temel türleri arasında temel aritmetik ve bit düzeyindeki operatörlerin tam bir koleksiyonunu sunar ve ayrıca kapsamlı bir standart matematiksel fonksiyon koleksiyonunun taşınabilir, verimli uygulamalarını sağlar.

Arithmetic Operators

Aşağıdaki arithmetic operators tüm ilkel sayısal türlerde desteklenmektedir:

Bir tanımlayıcı veya parantezden hemen önce yerleştirilen bir sayısal literal, örneğin 2x veya 2(x + y), diğer ikili işlemlerden daha yüksek önceliğe sahip bir çarpma olarak değerlendirilir. Ayrıntılar için Numeric Literal Coefficients'e bakın.

Julia'nın terfi sistemi, argüman türlerinin karışımları üzerinde aritmetik işlemlerin "doğal olarak" ve otomatik olarak çalışmasını sağlar. Ayrıntılar için Conversion and Promotion'e bakın.

÷ işareti, REPL veya Julia IDE'sine \div<tab> yazarak kolayca yazılabilir. Daha fazla bilgi için manual section on Unicode input'e bakın.

İşte aritmetik operatörler kullanan bazı basit örnekler:

julia> 1 + 2 + 3
6

julia> 1 - 2
-1

julia> 3*2/12
0.5

(Gelenek olarak, operatörlerin yanındaki diğer operatörlerden önce uygulanıyorsa, genellikle operatörleri daha sıkı bir şekilde aralıyoruz. Örneğin, ilk x'in negatif alındığını ve ardından 2'nin bu sonuca eklendiğini yansıtmak için genellikle -x + 2 şeklinde yazarız.)

Çarpma işlemlerinde false, güçlü sıfır olarak işlev görür:

julia> NaN * false
0.0

julia> false * Inf
0.0

Bu, sıfır olduğu bilinen miktarlarda NaN değerlerinin yayılmasını önlemek için faydalıdır. Motivasyon için Knuth (1992)'e bakın.

Boolean Operators

Aşağıdaki Boolean operators Bool türleri desteklenmektedir:

Negasyon true'yu false'a ve tersini değiştirir. Kısa devre işlemleri bağlantılı sayfada açıklanmıştır.

Bool bir tam sayı türüdür ve tüm olağan yükseltme kuralları ve sayısal operatörler de üzerinde tanımlıdır.

Bitwise Operators

Aşağıdaki bitwise operators tüm ilkel tam sayı türlerinde desteklenmektedir:

İşte bit düzeyinde işleçlerle ilgili bazı örnekler:

julia> ~123
-124

julia> 123 & 234
106

julia> 123 | 234
251

julia> 123 ⊻ 234
145

julia> xor(123, 234)
145

julia> nand(123, 123)
-124

julia> 123 ⊼ 123
-124

julia> nor(123, 124)
-128

julia> 123 ⊽ 124
-128

julia> ~UInt32(123)
0xffffff84

julia> ~UInt8(123)
0x84

Updating operators

Herhangi bir ikili aritmetik ve bit düzeyindeki operatörün, işlemin sonucunu sol operandına geri atayan bir güncelleme versiyonu da vardır. İkili operatörün güncelleme versiyonu, operatörden hemen sonra bir = yerleştirerek oluşturulur. Örneğin, x += 3 yazmak, x = x + 3 yazmakla eşdeğerdir:

julia> x = 1
1

julia> x += 3
4

julia> x
4

Tüm ikili aritmetik ve bit düzeyindeki operatörlerin güncellenmiş sürümleri şunlardır:

+=  -=  *=  /=  \=  ÷=  %=  ^=  &=  |=  ⊻=  >>>=  >>=  <<=

julia> x = 0x01; typeof(x)
UInt8

julia> x *= 2 # Same as x = x * 2
2

julia> typeof(x)
Int64

Vectorized "dot" operators

Her her ikili işlem için ^, bir "nokta" işlemi .^ vardır ki bu otomatik olarak diziler üzerinde ^ eleman bazında gerçekleştirmek için tanımlanmıştır. Örneğin, [1, 2, 3] ^ 3 tanımlı değildir, çünkü bir (dörtgen olmayan) dizinin "küpleme" için standart matematiksel bir anlamı yoktur, ancak [1, 2, 3] .^ 3 eleman bazında (veya "vektörleştirilmiş") sonucu [1^3, 2^3, 3^3] hesaplamak olarak tanımlanmıştır. Benzer şekilde, ! veya √ gibi tekil operatörler için, operatörü eleman bazında uygulayan bir .√ vardır.

julia> [1, 2, 3] .^ 3
3-element Vector{Int64}:
  1
  8
 27

Daha spesifik olarak, a .^ b ifadesi "dot" call (^).(a,b) olarak yorumlanır; bu, broadcast işlemini gerçekleştirir: dizileri ve skalarları, aynı boyuttaki dizileri (işlemi eleman bazında gerçekleştirerek) ve hatta farklı şekillerdeki dizileri (örneğin, satır ve sütun vektörlerini bir matris üretmek için birleştirerek) birleştirebilir. Dahası, tüm vektörleştirilmiş "nokta çağrıları" gibi, bu "nokta operatörleri" birleştirilmektedir. Örneğin, bir dizi A için 2 .* A.^2 .+ sin.(A) (veya eşdeğer olarak @. 2A^2 + sin(A), @. makrosunu kullanarak) hesapladığınızda, A üzerinde tek bir döngü gerçekleştirir ve A'nın her bir elemanı a için 2a^2 + sin(a) hesaplar. Özellikle, f.(g.(x)) gibi iç içe nokta çağrıları birleştirilir ve x .+ 3 .* x.^2 gibi "bitişik" ikili operatörler, iç içe nokta çağrıları (+).(x, (*).(3, (^).(x, 2))) ile eşdeğerdir.

Furthermore, "dotted" updating operators like a .+= b (or @. a += b) are parsed as a .= a .+ b, where .= is a fused in-place assignment operation (see the dot syntax documentation).

Not edin nokta sözdizimi, kullanıcı tanımlı operatörler için de geçerlidir. Örneğin, ⊗(A, B) = kron(A, B) tanımlarsanız, Kronecker çarpımları için A ⊗ B şeklinde kullanışlı bir infiks sözdizimi elde edersiniz (kron). Bu durumda, [A, B] .⊗ [C, D] ifadesi, ek bir kodlama gerektirmeden [A⊗C, B⊗D] hesaplayacaktır.

Nokta operatörlerini sayısal sabitlerle birleştirmek belirsiz olabilir. Örneğin, 1.+x ifadesinin 1. + x mi yoksa 1 .+ x mi olduğu net değildir. Bu nedenle bu sözdizimi yasaklanmıştır ve bu tür durumlarda operatör etrafında boşluklar kullanılmalıdır.

Numeric Comparisons

Tüm temel sayısal türler için standart karşılaştırma işlemleri tanımlanmıştır:

İşte bazı basit örnekler:

julia> 1 == 1
true

julia> 1 == 2
false

julia> 1 != 2
true

julia> 1 == 1.0
true

julia> 1 < 2
true

julia> 1.0 > 3
false

julia> 1 >= 1.0
true

julia> -1 <= 1
true

julia> -1 <= -1
true

julia> -1 <= -2
false

julia> 3 < -0.5
false

Tam sayılar standart şekilde - bitlerin karşılaştırılmasıyla - karşılaştırılır. Kayan noktalı sayılar ise IEEE 754 standard'ye göre karşılaştırılır:

• Sonlu sayılar, olağan şekilde sıralanmıştır.
• Pozitif sıfır, negatif sıfırdan eşit ama daha büyük değildir.
• Inf, kendisiyle eşittir ve NaN hariç her şeyden büyüktür.
• -Inf kendisiyle eşittir ve NaN hariç her şeyden küçüktür.
• NaN kendisi de dahil olmak üzere hiçbir şeye eşit, daha az veya daha fazla değildir.

Son nokta potansiyel olarak şaşırtıcıdır ve bu nedenle dikkate değer:

julia> NaN == NaN
false

julia> NaN != NaN
true

julia> NaN < NaN
false

julia> NaN > NaN
false

ve ve baş ağrısına neden olabilir arrays:

julia> [1 NaN] == [1 NaN]
false

Julia, özel değerler için sayıları test etmek üzere ek fonksiyonlar sağlar; bu, hash anahtarı karşılaştırmaları gibi durumlarda faydalı olabilir:

isequal NaN'leri birbirine eşit kabul eder:

julia> isequal(NaN, NaN)
true

julia> isequal([1 NaN], [1 NaN])
true

julia> isequal(NaN, NaN32)
true

isequal işaretli sıfırları ayırt etmek için de kullanılabilir:

julia> -0.0 == 0.0
true

julia> isequal(-0.0, 0.0)
false

İmzalı tam sayılar, imzasız tam sayılar ve float'lar arasında karışık tür karşılaştırmaları zorlayıcı olabilir. Julia'nın bunları doğru bir şekilde yapmasını sağlamak için büyük bir özen gösterilmiştir.

Diğer türler için, isequal varsayılan olarak == çağrısını yapar, bu nedenle kendi türleriniz için eşitliği tanımlamak istiyorsanız yalnızca bir 4d61726b646f776e2e436f64652822222c20223d3d2229_40726566 yöntemi eklemeniz gerekir. Kendi eşitlik fonksiyonunuzu tanımlarsanız, isequal(x,y) ifadesinin hash(x) == hash(y) anlamına gelmesini sağlamak için muhtemelen karşılık gelen bir hash yöntemi tanımlamalısınız.

Chaining comparisons

Diğer dillerin çoğunun aksine, notable exception of Python ile karşılaştırmalar keyfi olarak zincirlenebilir:

julia> 1 < 2 <= 2 < 3 == 3 > 2 >= 1 == 1 < 3 != 5
true

Karşılaştırmaları zincirleme, sayısal kodda genellikle oldukça kullanışlıdır. Zincirleme karşılaştırmalar, skalar karşılaştırmalar için && operatörünü ve eleman bazında karşılaştırmalar için & operatörünü kullanır; bu, diziler üzerinde çalışmasına olanak tanır. Örneğin, 0 .< A .< 1 ifadesi, A'nın karşılık gelen elemanlarının 0 ile 1 arasında olduğu yerlerde doğru olan bir boolean dizisi verir.

Zincirleme karşılaştırmaların değerlendirme davranışını not edin:

julia> v(x) = (println(x); x)
v (generic function with 1 method)

julia> v(1) < v(2) <= v(3)
2
1
3
true

julia> v(1) > v(2) <= v(3)
2
1
false

Orta ifade yalnızca bir kez değerlendirilir, oysa ifade v(1) < v(2) && v(2) <= v(3) şeklinde yazılmış olsaydı iki kez değerlendirilirdi. Ancak, zincirleme karşılaştırmalardaki değerlendirme sırası belirsizdir. Zincirleme karşılaştırmalarda yan etkileri (örneğin, yazdırma gibi) kullanmamanız şiddetle önerilir. Yan etkiler gerekiyorsa, kısa devre && operatörü açıkça kullanılmalıdır (bkz. Short-Circuit Evaluation).

Elementary Functions

Julia, matematiksel fonksiyonlar ve operatörlerin kapsamlı bir koleksiyonunu sunar. Bu matematiksel işlemler, mantıklı tanımlara izin veren en geniş sayısal değer sınıfı üzerinde tanımlanmıştır; bu, mantıklı tanımların anlamlı olduğu yerlerde tam sayılar, kayan noktalı sayılar, rasyonel sayılar ve karmaşık sayıları içerir.

Ayrıca, bu fonksiyonlar (herhangi bir Julia fonksiyonu gibi) dot syntax f.(A) ile dizilere ve diğer koleksiyonlara "vektörleştirilmiş" bir şekilde uygulanabilir; örneğin, sin.(A) bir dizi A'nın her bir elemanının sinüsünü hesaplayacaktır.

Operator Precedence and Associativity

Julia, aşağıdaki işlem sırasını ve birleştirme kurallarını, en yüksek öncelikten en düşük önceliğe doğru uygular:

Tam bir liste için her Julia operatörünün önceliği, bu dosyanın en üstüne bakın: src/julia-parser.scm. Orada bazı operatörlerin Base modülünde tanımlanmadığını, ancak standart kütüphaneler, paketler veya kullanıcı kodu tarafından tanımlanabileceğini unutmayın.

Verilen herhangi bir operatör için sayısal önceliği, daha yüksek sayıların önceliği aldığı yerleşik Base.operator_precedence fonksiyonu aracılığıyla da bulabilirsiniz:

julia> Base.operator_precedence(:+), Base.operator_precedence(:*), Base.operator_precedence(:.)
(11, 12, 17)

julia> Base.operator_precedence(:sin), Base.operator_precedence(:+=), Base.operator_precedence(:(=))  # (Note the necessary parens on `:(=)`)
(0, 1, 1)

Bir operatör birleşimliliğini temsil eden bir sembol, yerleşik Base.operator_associativity fonksiyonu çağrılarak da bulunabilir:

julia> Base.operator_associativity(:-), Base.operator_associativity(:+), Base.operator_associativity(:^)
(:left, :none, :right)

julia> Base.operator_associativity(:⊗), Base.operator_associativity(:sin), Base.operator_associativity(:→)
(:left, :none, :right)

Not edin ki :sin gibi semboller öncelik 0 döndürür. Bu değer geçersiz operatörleri temsil eder ve en düşük öncelikli operatörleri değil. Benzer şekilde, bu tür operatörlere :none birliktelik atanır.

Numeric literal coefficients, örneğin 2x, diğer ikili işlemlerden daha yüksek önceliğe sahip çarpımlar olarak değerlendirilir, ^ hariç, burada yalnızca üslü işlem olarak daha yüksek önceliğe sahiptir.

julia> x = 3; 2x^2
18

julia> x = 3; 2^2x
64

Juxtapozisyon, üstelere etrafında aynı doğal asimetrik yapıya sahip olan bir unary operatör gibi ayrıştırılır: -x^y ve 2x^y, -(x^y) ve 2(x^y) olarak ayrıştırılırken, x^-y ve x^2y, x^(-y) ve x^(2y) olarak ayrıştırılır.

Numerical Conversions

Julia, üç farklı sayısal dönüştürme biçimini destekler; bu biçimler, kesin olmayan dönüşümlerin işlenişinde farklılık gösterir.

• T(x) veya convert(T, x) notasyonu, x'i T türünde bir değere dönüştürür.

  • Eğer T bir kayan nokta türüyse, sonuç en yakın temsil edilebilir değer olup, bu pozitif veya negatif sonsuzluk olabilir.
  • Eğer T bir tam sayı türüyse, x T tarafından temsil edilemezse bir InexactError hatası oluşur.

• x % T bir tam sayıyı x'in 2^n modülüne göre T tam sayı türüne uygun bir değere dönüştürür; burada n, T'deki bit sayısını ifade eder. Diğer bir deyişle, ikili temsil, sığacak şekilde kesilir.

• Rounding functions bir T türünü isteğe bağlı bir argüman olarak alır. Örneğin, round(Int,x) ifadesi Int(round(x)) için bir kısayoldur.

Aşağıdaki örnekler farklı biçimleri göstermektedir.

julia> Int8(127)
127

julia> Int8(128)
ERROR: InexactError: trunc(Int8, 128)
Stacktrace:
[...]

julia> Int8(127.0)
127

julia> Int8(3.14)
ERROR: InexactError: Int8(3.14)
Stacktrace:
[...]

julia> Int8(128.0)
ERROR: InexactError: Int8(128.0)
Stacktrace:
[...]

julia> 127 % Int8
127

julia> 128 % Int8
-128

julia> round(Int8,127.4)
127

julia> round(Int8,127.6)
ERROR: InexactError: Int8(128.0)
Stacktrace:
[...]

Conversion and Promotion için kendi dönüşümlerinizi ve promosyonlarınızı nasıl tanımlayacağınızı görün.

Rounding functions

Division functions

Sign and absolute value functions

Powers, logs and roots

hypot, expm1, ve log1p gibi fonksiyonların neden gerekli ve faydalı olduğuna dair bir genel bakış için John D. Cook'un bu konudaki mükemmel iki blog yazısına bakın: expm1, log1p, erfc ve hypot.

Trigonometric and hyperbolic functions

Tüm standart trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar da tanımlanmıştır:

sin    cos    tan    cot    sec    csc
sinh   cosh   tanh   coth   sech   csch
asin   acos   atan   acot   asec   acsc
asinh  acosh  atanh  acoth  asech  acsch
sinc   cosc

Bunlar, atan geleneksel atan2 fonksiyonuna karşılık gelen iki argümanı da kabul eden tek argümanlı fonksiyonlardır.

Ayrıca, sinpi(x) ve cospi(x) daha doğru hesaplamalar için sin(pi * x) ve cos(pi * x) ile sırasıyla sağlanmıştır.

Derece yerine radyan kullanarak trigonometrik fonksiyonları hesaplamak için, fonksiyonun sonuna d ekleyin. Örneğin, sind(x) ifadesi, x'in derece cinsinden belirtildiği durumda x'in sinüsünü hesaplar. Derece varyantlarına sahip trigonometrik fonksiyonların tam listesi şudur:

sind   cosd   tand   cotd   secd   cscd
asind  acosd  atand  acotd  asecd  acscd

Special functions

Birçok diğer özel matematiksel fonksiyon, SpecialFunctions.jl paketinde sağlanmaktadır.