Complex and Rational Numbers

Juliaは、複素数と有理数のための事前定義された型を含み、すべての標準Mathematical Operations and Elementary Functionsをサポートしています。Conversion and Promotionは、事前定義された数値型の任意の組み合わせに対して、原始的であれ複合的であれ、操作が期待通りに動作するように定義されています。

Complex Numbers

グローバル定数 im は複素数 i にバインドされており、-1 の主平方根を表しています。（数学者の i やエンジニアの j をこのグローバル定数に使用することは、非常に一般的なインデックス変数名であるため却下されました。）Julia は数値リテラルを juxtaposed with identifiers as coefficients とすることを許可しているため、このバインディングは複素数のための便利な構文を提供するのに十分であり、従来の数学的表記法に似ています：

julia> 1+2im
1 + 2im

複素数に対してすべての標準的な算術演算を行うことができます：

julia> (1 + 2im)*(2 - 3im)
8 + 1im

julia> (1 + 2im)/(1 - 2im)
-0.6 + 0.8im

julia> (1 + 2im) + (1 - 2im)
2 + 0im

julia> (-3 + 2im) - (5 - 1im)
-8 + 3im

julia> (-1 + 2im)^2
-3 - 4im

julia> (-1 + 2im)^2.5
2.729624464784009 - 6.9606644595719im

julia> (-1 + 2im)^(1 + 1im)
-0.27910381075826657 + 0.08708053414102428im

julia> 3(2 - 5im)
6 - 15im

julia> 3(2 - 5im)^2
-63 - 60im

julia> 3(2 - 5im)^-1.0
0.20689655172413793 + 0.5172413793103449im

昇格メカニズムは、異なる型のオペランドの組み合わせがうまく機能することを保証します：

julia> 2(1 - 1im)
2 - 2im

julia> (2 + 3im) - 1
1 + 3im

julia> (1 + 2im) + 0.5
1.5 + 2.0im

julia> (2 + 3im) - 0.5im
2.0 + 2.5im

julia> 0.75(1 + 2im)
0.75 + 1.5im

julia> (2 + 3im) / 2
1.0 + 1.5im

julia> (1 - 3im) / (2 + 2im)
-0.5 - 1.0im

julia> 2im^2
-2 + 0im

julia> 1 + 3/4im
1.0 - 0.75im

3/4im == 3/(4*im) == -(3/4*im) に注意してください。リテラル係数は除算よりも強く結びつくためです。

複素値を操作するための標準関数が提供されています：

julia> z = 1 + 2im
1 + 2im

julia> real(1 + 2im) # real part of z
1

julia> imag(1 + 2im) # imaginary part of z
2

julia> conj(1 + 2im) # complex conjugate of z
1 - 2im

julia> abs(1 + 2im) # absolute value of z
2.23606797749979

julia> abs2(1 + 2im) # squared absolute value
5

julia> angle(1 + 2im) # phase angle in radians
1.1071487177940904

通常通り、複素数の絶対値（abs）はゼロからの距離です。abs2は絶対値の二乗を返し、平方根を取ることを避けるため、複素数に特に便利です。angleはラジアンでの位相角（argumentまたはarg関数としても知られています）を返します。複素数に対して定義されている他のすべてのElementary Functionsもあります：

julia> sqrt(1im)
0.7071067811865476 + 0.7071067811865475im

julia> sqrt(1 + 2im)
1.272019649514069 + 0.7861513777574233im

julia> cos(1 + 2im)
2.0327230070196656 - 3.0518977991517997im

julia> exp(1 + 2im)
-1.1312043837568135 + 2.4717266720048188im

julia> sinh(1 + 2im)
-0.4890562590412937 + 1.4031192506220405im

数学関数は通常、実数に適用されると実数値を返し、複素数に適用されると複素数値を返すことに注意してください。例えば、sqrt は -1 に適用される場合と -1 + 0im に適用される場合で異なる動作をしますが、-1 == -1 + 0im です。

julia> sqrt(-1)
ERROR: DomainError with -1.0:
sqrt was called with a negative real argument but will only return a complex result if called with a complex argument. Try sqrt(Complex(x)).
Stacktrace:
[...]

julia> sqrt(-1 + 0im)
0.0 + 1.0im

literal numeric coefficient notation は、変数から複素数を構築する際に機能しません。代わりに、乗算を明示的に書き出す必要があります：

julia> a = 1; b = 2; a + b*im
1 + 2im

しかし、これは推奨されません。代わりに、より効率的な complex 関数を使用して、実部と虚部から直接複素値を構築してください：

julia> a = 1; b = 2; complex(a, b)
1 + 2im

この構造は、乗算と加算の操作を回避します。

Inf と NaN は、Special floating-point values セクションで説明されているように、複素数の実部と虚部を通じて伝播します。

julia> 1 + Inf*im
1.0 + Inf*im

julia> 1 + NaN*im
1.0 + NaN*im

Rational Numbers

ジュリアは整数の正確な比率を表すための有理数型を持っています。有理数は // 演算子を使用して構築されます：

julia> 2//3
2//3

有理数の分子と分母に共通の因子がある場合、それらは最小項に簡約され、分母は非負であることが求められます。

julia> 6//9
2//3

julia> -4//8
-1//2

julia> 5//-15
-1//3

julia> -4//-12
1//3

この整数の比の正規化された形式は一意であるため、有理値の等価性は分子と分母の等価性を確認することでテストできます。有理値の標準化された分子と分母は、numerator および denominator 関数を使用して抽出できます：

julia> numerator(2//3)
2

julia> denominator(2//3)
3

分子と分母の直接比較は一般的に必要ありません。なぜなら、標準的な算術および比較演算は有理値に対して定義されているからです。

julia> 2//3 == 6//9
true

julia> 2//3 == 9//27
false

julia> 3//7 < 1//2
true

julia> 3//4 > 2//3
true

julia> 2//4 + 1//6
2//3

julia> 5//12 - 1//4
1//6

julia> 5//8 * 3//12
5//32

julia> 6//5 / 10//7
21//25

有理数は簡単に浮動小数点数に変換できます：

julia> float(3//4)
0.75

有理数から浮動小数点数への変換は、a と b の任意の整数値に対して以下の恒等式を尊重します。ただし、a==0 && b <= 0 の場合を除きます:

julia> a = 1; b = 2;

julia> isequal(float(a//b), a/b)
true

julia> a, b = 0, 0
(0, 0)

julia> float(a//b)
ERROR: ArgumentError: invalid rational: zero(Int64)//zero(Int64)
Stacktrace:
[...]

julia> a/b
NaN

julia> a, b = 0, -1
(0, -1)

julia> float(a//b), a/b
(0.0, -0.0)

無限の有理値を構築することは許可されています：

julia> 5//0
1//0

julia> x = -3//0
-1//0

julia> typeof(x)
Rational{Int64}

NaN の有理値を構築しようとしていますが、無効です：

julia> 0//0
ERROR: ArgumentError: invalid rational: zero(Int64)//zero(Int64)
Stacktrace:
[...]

通常通り、昇格システムは他の数値型との相互作用を容易にします：

julia> 3//5 + 1
8//5

julia> 3//5 - 0.5
0.09999999999999998

julia> 2//7 * (1 + 2im)
2//7 + 4//7*im

julia> 2//7 * (1.5 + 2im)
0.42857142857142855 + 0.5714285714285714im

julia> 3//2 / (1 + 2im)
3//10 - 3//5*im

julia> 1//2 + 2im
1//2 + 2//1*im

julia> 1 + 2//3im
1//1 - 2//3*im

julia> 0.5 == 1//2
true

julia> 0.33 == 1//3
false

julia> 0.33 < 1//3
true

julia> 1//3 - 0.33
0.0033333333333332993