Complex and Rational Numbers

줄리아는 복소수와 유리수에 대한 미리 정의된 유형을 포함하고 있으며, 이들에 대해 모든 표준 Mathematical Operations and Elementary Functions을 지원합니다. Conversion and Promotion은 기본 또는 복합 미리 정의된 숫자 유형의 조합에 대한 연산이 예상대로 작동하도록 정의되어 있습니다.

Complex Numbers

전역 상수 im는 복소수 i에 바인딩되어 있으며, 이는 -1의 주 제곱근을 나타냅니다. (수학자들이 사용하는 i 또는 엔지니어들이 사용하는 j를 이 전역 상수에 사용하기로 한 것은 이러한 이름들이 매우 일반적인 인덱스 변수 이름이기 때문에 거부되었습니다.) 줄리아는 숫자 리터럴을 juxtaposed with identifiers as coefficients와 같이 허용하므로, 이 바인딩은 전통적인 수학적 표기법과 유사하게 복소수에 대한 편리한 구문을 제공합니다:

julia> 1+2im
1 + 2im

복소수로 모든 표준 산술 연산을 수행할 수 있습니다:

julia> (1 + 2im)*(2 - 3im)
8 + 1im

julia> (1 + 2im)/(1 - 2im)
-0.6 + 0.8im

julia> (1 + 2im) + (1 - 2im)
2 + 0im

julia> (-3 + 2im) - (5 - 1im)
-8 + 3im

julia> (-1 + 2im)^2
-3 - 4im

julia> (-1 + 2im)^2.5
2.729624464784009 - 6.9606644595719im

julia> (-1 + 2im)^(1 + 1im)
-0.27910381075826657 + 0.08708053414102428im

julia> 3(2 - 5im)
6 - 15im

julia> 3(2 - 5im)^2
-63 - 60im

julia> 3(2 - 5im)^-1.0
0.20689655172413793 + 0.5172413793103449im

프로모션 메커니즘은 서로 다른 유형의 피연산자 조합이 제대로 작동하도록 보장합니다:

julia> 2(1 - 1im)
2 - 2im

julia> (2 + 3im) - 1
1 + 3im

julia> (1 + 2im) + 0.5
1.5 + 2.0im

julia> (2 + 3im) - 0.5im
2.0 + 2.5im

julia> 0.75(1 + 2im)
0.75 + 1.5im

julia> (2 + 3im) / 2
1.0 + 1.5im

julia> (1 - 3im) / (2 + 2im)
-0.5 - 1.0im

julia> 2im^2
-2 + 0im

julia> 1 + 3/4im
1.0 - 0.75im

3/4im == 3/(4*im) == -(3/4*im)이라는 점에 유의하세요. 리터럴 계수가 나눗셈보다 더 강하게 결합되기 때문입니다.

복소 값을 조작하기 위한 표준 함수가 제공됩니다:

julia> z = 1 + 2im
1 + 2im

julia> real(1 + 2im) # real part of z
1

julia> imag(1 + 2im) # imaginary part of z
2

julia> conj(1 + 2im) # complex conjugate of z
1 - 2im

julia> abs(1 + 2im) # absolute value of z
2.23606797749979

julia> abs2(1 + 2im) # squared absolute value
5

julia> angle(1 + 2im) # phase angle in radians
1.1071487177940904

As usual, the absolute value (abs) of a complex number is its distance from zero. abs2 gives the square of the absolute value, and is of particular use for complex numbers since it avoids taking a square root. angle returns the phase angle in radians (also known as the argument or arg function). The full gamut of other Elementary Functions is also defined for complex numbers:

julia> sqrt(1im)
0.7071067811865476 + 0.7071067811865475im

julia> sqrt(1 + 2im)
1.272019649514069 + 0.7861513777574233im

julia> cos(1 + 2im)
2.0327230070196656 - 3.0518977991517997im

julia> exp(1 + 2im)
-1.1312043837568135 + 2.4717266720048188im

julia> sinh(1 + 2im)
-0.4890562590412937 + 1.4031192506220405im

수학 함수는 일반적으로 실수에 적용될 때 실수 값을 반환하고, 복소수에 적용될 때 복소수 값을 반환한다는 점에 유의하십시오. 예를 들어, sqrt는 -1과 -1 + 0im에 적용될 때 다르게 동작합니다. 비록 -1 == -1 + 0im이지만 말입니다.

julia> sqrt(-1)
ERROR: DomainError with -1.0:
sqrt was called with a negative real argument but will only return a complex result if called with a complex argument. Try sqrt(Complex(x)).
Stacktrace:
[...]

julia> sqrt(-1 + 0im)
0.0 + 1.0im

literal numeric coefficient notation는 변수를 사용하여 복소수를 구성할 때 작동하지 않습니다. 대신, 곱셈은 명시적으로 작성해야 합니다:

julia> a = 1; b = 2; a + b*im
1 + 2im

그러나, 이는 권장되지 않습니다. 대신, complex 함수를 사용하여 복소 값을 실수 부분과 허수 부분에서 직접 구성하는 것이 더 효율적입니다:

julia> a = 1; b = 2; complex(a, b)
1 + 2im

이 구조는 곱셈 및 덧셈 연산을 피합니다.

Inf 및 NaN는 Special floating-point values 섹션에 설명된 대로 복소수의 실수 및 허수 부분을 통해 전파됩니다:

julia> 1 + Inf*im
1.0 + Inf*im

julia> 1 + NaN*im
1.0 + NaN*im

Rational Numbers

줄리아는 정수의 정확한 비율을 나타내기 위해 유리수 유형을 가지고 있습니다. 유리수는 // 연산자를 사용하여 생성됩니다:

julia> 2//3
2//3

유리수의 분자와 분모에 공통 인수가 있는 경우, 분모가 음수가 되지 않도록 가장 낮은 항으로 약분됩니다:

julia> 6//9
2//3

julia> -4//8
-1//2

julia> 5//-15
-1//3

julia> -4//-12
1//3

이 정규화된 정수 비율의 형태는 고유하므로, 유리 값의 동등성은 분자와 분모의 동등성을 확인함으로써 테스트할 수 있습니다. 유리 값의 표준화된 분자와 분모는 numerator 및 denominator 함수를 사용하여 추출할 수 있습니다:

julia> numerator(2//3)
2

julia> denominator(2//3)
3

분자와 분모의 직접 비교는 일반적으로 필요하지 않습니다. 왜냐하면 표준 산술 및 비교 연산이 유리수에 대해 정의되어 있기 때문입니다:

julia> 2//3 == 6//9
true

julia> 2//3 == 9//27
false

julia> 3//7 < 1//2
true

julia> 3//4 > 2//3
true

julia> 2//4 + 1//6
2//3

julia> 5//12 - 1//4
1//6

julia> 5//8 * 3//12
5//32

julia> 6//5 / 10//7
21//25

유리수는 쉽게 부동 소수점 숫자로 변환될 수 있습니다:

julia> float(3//4)
0.75

유리수에서 부동 소수점으로의 변환은 a와 b의 모든 정수 값에 대해 다음 항등식을 준수합니다. 단, a==0 && b <= 0인 경우는 제외합니다:

julia> a = 1; b = 2;

julia> isequal(float(a//b), a/b)
true

julia> a, b = 0, 0
(0, 0)

julia> float(a//b)
ERROR: ArgumentError: invalid rational: zero(Int64)//zero(Int64)
Stacktrace:
[...]

julia> a/b
NaN

julia> a, b = 0, -1
(0, -1)

julia> float(a//b), a/b
(0.0, -0.0)

무한한 유리값을 구성하는 것은 허용됩니다:

julia> 5//0
1//0

julia> x = -3//0
-1//0

julia> typeof(x)
Rational{Int64}

NaN의 유리 값을 구성하려고 하지만, 유효하지 않습니다:

julia> 0//0
ERROR: ArgumentError: invalid rational: zero(Int64)//zero(Int64)
Stacktrace:
[...]

평소와 같이, 프로모션 시스템은 다른 숫자 유형과의 상호작용을 수월하게 만듭니다:

julia> 3//5 + 1
8//5

julia> 3//5 - 0.5
0.09999999999999998

julia> 2//7 * (1 + 2im)
2//7 + 4//7*im

julia> 2//7 * (1.5 + 2im)
0.42857142857142855 + 0.5714285714285714im

julia> 3//2 / (1 + 2im)
3//10 - 3//5*im

julia> 1//2 + 2im
1//2 + 2//1*im

julia> 1 + 2//3im
1//1 - 2//3*im

julia> 0.5 == 1//2
true

julia> 0.33 == 1//3
false

julia> 0.33 < 1//3
true

julia> 1//3 - 0.33
0.0033333333333332993