Mathematical Operations and Elementary Functions

Julia는 모든 숫자 원시 유형에 걸쳐 기본 산술 및 비트 연산자의 완전한 컬렉션을 제공하며, 포터블하고 효율적인 구현을 통해 포괄적인 표준 수학 함수 컬렉션을 제공합니다.

Arithmetic Operators

다음 arithmetic operators는 모든 원시 숫자 유형에서 지원됩니다:

숫자 리터럴이 식별자나 괄호 바로 앞에 위치할 경우, 예를 들어 2x 또는 2(x + y)와 같이, 이는 곱셈으로 처리되지만 다른 이항 연산보다 우선 순위가 높습니다. 자세한 내용은 Numeric Literal Coefficients를 참조하십시오.

줄리아의 승격 시스템은 인수 유형의 혼합에 대한 산술 연산이 "자연스럽고 자동으로" 작동하도록 만듭니다. 승격 시스템에 대한 자세한 내용은 Conversion and Promotion을 참조하세요.

÷ 기호는 REPL 또는 Julia IDE에서 \div<tab>를 입력하여 편리하게 입력할 수 있습니다. 자세한 내용은 manual section on Unicode input를 참조하세요.

다음은 산술 연산자를 사용하는 간단한 예입니다:

julia> 1 + 2 + 3
6

julia> 1 - 2
-1

julia> 3*2/12
0.5

(관례상, 우리는 인접한 다른 연산자보다 먼저 적용되는 연산자에 대해 더 촘촘하게 간격을 두는 경향이 있습니다. 예를 들어, 우리는 일반적으로 -x + 2라고 작성하여 첫 번째 x가 부정되고, 그 결과에 2가 더해진다는 것을 반영합니다.)

곱셈에 사용될 때, false는 강한 제로로 작용합니다:

julia> NaN * false
0.0

julia> false * Inf
0.0

이것은 0으로 알려진 양에서 NaN 값의 전파를 방지하는 데 유용합니다. 동기를 위해 Knuth (1992)를 참조하세요.

Boolean Operators

다음 Boolean operators는 Bool 유형에서 지원됩니다:

부정은 true를 false로, 그리고 그 반대도 마찬가지로 변경합니다. 단축 평가 연산자는 링크된 페이지에서 설명되어 있습니다.

Bool은 정수형 타입이며, 모든 일반적인 승격 규칙과 수치 연산자도 이에 대해 정의되어 있습니다.

Bitwise Operators

다음 bitwise operators는 모든 원시 정수 유형에서 지원됩니다:

여기 비트 연산자를 사용한 몇 가지 예가 있습니다:

julia> ~123
-124

julia> 123 & 234
106

julia> 123 | 234
251

julia> 123 ⊻ 234
145

julia> xor(123, 234)
145

julia> nand(123, 123)
-124

julia> 123 ⊼ 123
-124

julia> nor(123, 124)
-128

julia> 123 ⊽ 124
-128

julia> ~UInt32(123)
0xffffff84

julia> ~UInt8(123)
0x84

Updating operators

모든 이진 산술 및 비트 연산자는 결과를 왼쪽 피연산자에 다시 할당하는 업데이트 버전도 있습니다. 이진 연산자의 업데이트 버전은 연산자 바로 뒤에 =를 배치하여 형성됩니다. 예를 들어, x += 3이라고 쓰는 것은 x = x + 3이라고 쓰는 것과 같습니다:

julia> x = 1
1

julia> x += 3
4

julia> x
4

모든 이진 산술 및 비트 연산자의 업데이트된 버전은 다음과 같습니다:

+=  -=  *=  /=  \=  ÷=  %=  ^=  &=  |=  ⊻=  >>>=  >>=  <<=

julia> x = 0x01; typeof(x)
UInt8

julia> x *= 2 # Same as x = x * 2
2

julia> typeof(x)
Int64

Vectorized "dot" operators

모든 이진 연산자 ^에 대해, 배열에서 요소별로 ^를 수행하도록 자동으로 정의된 해당 "점" 연산 .^가 있습니다. 예를 들어, [1, 2, 3] ^ 3은 정의되지 않는데, 이는 (비정사각형) 배열을 "세제곱"하는 것에 대한 표준 수학적 의미가 없기 때문입니다. 그러나 [1, 2, 3] .^ 3은 요소별(또는 "벡터화된") 결과 [1^3, 2^3, 3^3]를 계산하는 것으로 정의됩니다. 마찬가지로 ! 또는 √와 같은 단항 연산자에 대해서도 요소별로 연산자를 적용하는 해당 .√가 있습니다.

julia> [1, 2, 3] .^ 3
3-element Vector{Int64}:
  1
  8
 27

더 구체적으로, a .^ b는 "dot" call (^).(a,b)로 파싱되며, 이는 broadcast 연산을 수행합니다: 이는 배열과 스칼라, 같은 크기의 배열(요소별로 연산 수행), 심지어 서로 다른 형태의 배열(예: 행 벡터와 열 벡터를 결합하여 행렬을 생성)도 결합할 수 있습니다. 게다가, 모든 벡터화된 "점 호출"처럼, 이러한 "점 연산자"는 융합됩니다. 예를 들어, 배열 A에 대해 2 .* A.^2 .+ sin.(A) (또는 동등하게 @. 2A^2 + sin(A), @. 매크로를 사용하여) 를 계산하면, A에 대해 2a^2 + sin(a)를 각 요소 a에 대해 계산하는 단일 루프를 수행합니다. 특히, f.(g.(x))와 같은 중첩된 점 호출은 융합되며, x .+ 3 .* x.^2와 같은 "인접한" 이진 연산자는 중첩된 점 호출 (+).(x, (*).(3, (^).(x, 2)))와 동등합니다.

Furthermore, "dotted" updating operators like a .+= b (or @. a += b) are parsed as a .= a .+ b, where .= is a fused in-place assignment operation (see the dot syntax documentation).

점(dot) 구문은 사용자 정의 연산자에도 적용됩니다. 예를 들어, ⊗(A, B) = kron(A, B)를 정의하여 크로네커 곱에 대한 편리한 중위 구문 A ⊗ B를 제공하면(kron), [A, B] .⊗ [C, D]는 추가 코딩 없이 [A⊗C, B⊗D]를 계산합니다.

점 연산자를 숫자 리터럴과 결합하는 것은 모호할 수 있습니다. 예를 들어, 1.+x가 1. + x를 의미하는지 아니면 1 .+ x를 의미하는지 명확하지 않습니다. 따라서 이 구문은 허용되지 않으며, 이러한 경우 연산자 주위에 공백을 사용해야 합니다.

Numeric Comparisons

모든 기본 숫자 유형에 대해 표준 비교 연산이 정의되어 있습니다:

여기 몇 가지 간단한 예시가 있습니다:

julia> 1 == 1
true

julia> 1 == 2
false

julia> 1 != 2
true

julia> 1 == 1.0
true

julia> 1 < 2
true

julia> 1.0 > 3
false

julia> 1 >= 1.0
true

julia> -1 <= 1
true

julia> -1 <= -1
true

julia> -1 <= -2
false

julia> 3 < -0.5
false

정수는 비트 비교를 통해 표준 방식으로 비교됩니다. 부동 소수점 숫자는 IEEE 754 standard에 따라 비교됩니다:

• 유한 수는 일반적인 방식으로 정렬됩니다.
• 양의 제로는 음의 제로와 같지만 더 크지는 않습니다.
• Inf는 자신과 같고 NaN을 제외한 모든 것보다 큽니다.
• -Inf는 자신과 같고 NaN을 제외한 모든 것보다 작습니다.
• NaN은 자신을 포함하여 어떤 것과도 같지 않으며, 작지도 크지도 않습니다.

마지막 포인트는 잠재적으로 놀라울 수 있으므로 주목할 가치가 있습니다:

julia> NaN == NaN
false

julia> NaN != NaN
true

julia> NaN < NaN
false

julia> NaN > NaN
false

그리고 arrays 작업 시 두통을 유발할 수 있습니다:

julia> [1 NaN] == [1 NaN]
false

줄리아는 해시 키 비교와 같은 상황에서 유용할 수 있는 특별한 값에 대한 숫자를 테스트하는 추가 기능을 제공합니다:

isequal는 NaN을 서로 같다고 간주합니다:

julia> isequal(NaN, NaN)
true

julia> isequal([1 NaN], [1 NaN])
true

julia> isequal(NaN, NaN32)
true

isequal은 부호가 있는 0을 구분하는 데에도 사용할 수 있습니다:

julia> -0.0 == 0.0
true

julia> isequal(-0.0, 0.0)
false

부호가 있는 정수, 부호가 없는 정수 및 부동 소수점 수 간의 혼합형 비교는 까다로울 수 있습니다. Julia가 이를 올바르게 수행하도록 많은 주의가 기울여졌습니다.

다른 유형의 경우, isequal은 기본적으로 ==를 호출하므로, 자신의 유형에 대한 동등성을 정의하려면 4d61726b646f776e2e436f64652822222c20223d3d2229_40726566 메서드만 추가하면 됩니다. 자신의 동등성 함수를 정의하는 경우, isequal(x,y)가 hash(x) == hash(y)를 의미하도록 보장하기 위해 해당하는 hash 메서드를 정의하는 것이 좋습니다.

Chaining comparisons

대부분의 언어와 달리, notable exception of Python에서는 비교를 임의로 연결할 수 있습니다:

julia> 1 < 2 <= 2 < 3 == 3 > 2 >= 1 == 1 < 3 != 5
true

비교를 연결하는 것은 수치 코드에서 종종 매우 편리합니다. 연결된 비교는 스칼라 비교를 위해 && 연산자를 사용하고, 배열에서 작동할 수 있도록 요소별 비교를 위해 & 연산자를 사용합니다. 예를 들어, 0 .< A .< 1은 A의 해당 요소가 0과 1 사이에 있을 때 true인 불리언 배열을 제공합니다.

체인 비교의 평가 동작에 유의하세요:

julia> v(x) = (println(x); x)
v (generic function with 1 method)

julia> v(1) < v(2) <= v(3)
2
1
3
true

julia> v(1) > v(2) <= v(3)
2
1
false

중간 표현식은 v(1) < v(2) && v(2) <= v(3)와 같이 표현했을 경우 두 번 평가되는 것이 아니라 한 번만 평가됩니다. 그러나 체인 비교에서 평가 순서는 정의되어 있지 않습니다. 부작용(예: 출력)이 있는 표현식을 체인 비교에서 사용하는 것은 강력히 권장되지 않습니다. 부작용이 필요한 경우, 단축 평가 && 연산자를 명시적으로 사용해야 합니다(참조: Short-Circuit Evaluation).

Elementary Functions

줄리아는 수학 함수와 연산자의 포괄적인 컬렉션을 제공합니다. 이러한 수학 연산은 정수, 부동 소수점 숫자, 유리수 및 복소수 등 의미 있는 정의를 허용하는 가능한 넓은 범위의 수치 값에 대해 정의됩니다. 이러한 정의가 의미가 있는 곳이라면 어디에서나 적용됩니다.

또한 이러한 함수(모든 Julia 함수와 마찬가지로)는 dot syntax f.(A)를 사용하여 배열 및 기타 컬렉션에 "벡터화" 방식으로 적용될 수 있습니다. 예를 들어, sin.(A)는 배열 A의 각 요소의 사인을 계산합니다.

Operator Precedence and Associativity

줄리아는 다음과 같은 연산의 순서와 결합법칙을 적용합니다. 가장 높은 우선순위에서 가장 낮은 우선순위까지:

모든 Julia 연산자의 우선 순위에 대한 완전한 목록은 이 파일의 맨 위를 참조하세요: src/julia-parser.scm. 거기에서 일부 연산자는 Base 모듈에 정의되어 있지 않지만 표준 라이브러리, 패키지 또는 사용자 코드에 의해 정의될 수 있습니다.

주어진 연산자에 대한 수치적 우선 순위는 내장 함수 Base.operator_precedence를 통해 찾을 수 있으며, 더 높은 숫자가 우선 순위를 가집니다:

julia> Base.operator_precedence(:+), Base.operator_precedence(:*), Base.operator_precedence(:.)
(11, 12, 17)

julia> Base.operator_precedence(:sin), Base.operator_precedence(:+=), Base.operator_precedence(:(=))  # (Note the necessary parens on `:(=)`)
(0, 1, 1)

연산자 결합성을 나타내는 기호는 내장 함수 Base.operator_associativity를 호출하여 찾을 수 있습니다:

julia> Base.operator_associativity(:-), Base.operator_associativity(:+), Base.operator_associativity(:^)
(:left, :none, :right)

julia> Base.operator_associativity(:⊗), Base.operator_associativity(:sin), Base.operator_associativity(:→)
(:left, :none, :right)

:sin와 같은 기호는 우선 순위 0을 반환합니다. 이 값은 유효하지 않은 연산자를 나타내며 최저 우선 순위의 연산자를 나타내지 않습니다. 마찬가지로, 이러한 연산자는 결합성 :none이 할당됩니다.

Numeric literal coefficients와 같은 2x는 다른 이진 연산보다 우선 순위가 높은 곱셈으로 처리되며, ^의 경우 지수로서만 더 높은 우선 순위를 가집니다.

julia> x = 3; 2x^2
18

julia> x = 3; 2^2x
64

대조는 단항 연산자처럼 구문 분석되며, 지수 주위에서 동일한 자연 비대칭성을 가집니다: -x^y와 2x^y는 각각 -(x^y)와 2(x^y)로 구문 분석되는 반면, x^-y와 x^2y는 각각 x^(-y)와 x^(2y)로 구문 분석됩니다.

Numerical Conversions

줄리아는 부정확한 변환 처리 방식이 다른 세 가지 형태의 숫자 변환을 지원합니다.

• 표기법 T(x) 또는 convert(T, x)는 x를 타입 T의 값으로 변환합니다.

  • T가 부동 소수점 타입인 경우, 결과는 표현 가능한 가장 가까운 값이며, 이는 양의 무한대 또는 음의 무한대일 수 있습니다.
  • T가 정수형일 경우, x가 T로 표현될 수 없으면 InexactError가 발생합니다.

• x % T는 정수 x를 T의 정수형 값으로 변환하며, 이는 x를 2^n으로 나눈 나머지와 동치입니다. 여기서 n은 T의 비트 수입니다. 다시 말해, 이진 표현이 맞도록 잘립니다.

• Rounding functions는 선택적 인수로 타입 T를 받습니다. 예를 들어, round(Int,x)는 Int(round(x))의 약어입니다.

다음 예시는 다양한 형태를 보여줍니다.

julia> Int8(127)
127

julia> Int8(128)
ERROR: InexactError: trunc(Int8, 128)
Stacktrace:
[...]

julia> Int8(127.0)
127

julia> Int8(3.14)
ERROR: InexactError: Int8(3.14)
Stacktrace:
[...]

julia> Int8(128.0)
ERROR: InexactError: Int8(128.0)
Stacktrace:
[...]

julia> 127 % Int8
127

julia> 128 % Int8
-128

julia> round(Int8,127.4)
127

julia> round(Int8,127.6)
ERROR: InexactError: Int8(128.0)
Stacktrace:
[...]

Conversion and Promotion를 참조하여 자신만의 변환 및 프로모션을 정의하는 방법을 확인하세요.

Rounding functions

Division functions

Sign and absolute value functions

Powers, logs and roots

hypot, expm1, 및 log1p와 같은 함수가 왜 필요하고 유용한지에 대한 개요는 John D. Cook의 훌륭한 블로그 포스트 두 편을 참조하세요: expm1, log1p, erfc 및 hypot.

Trigonometric and hyperbolic functions

모든 표준 삼각 함수와 쌍곡선 함수도 정의됩니다:

sin    cos    tan    cot    sec    csc
sinh   cosh   tanh   coth   sech   csch
asin   acos   atan   acot   asec   acsc
asinh  acosh  atanh  acoth  asech  acsch
sinc   cosc

이것들은 모두 단일 인수를 받는 함수이며, atan는 전통적인 atan2 함수에 해당하는 두 개의 인수도 허용합니다.

추가적으로, sinpi(x)와 cospi(x)는 각각 sin(pi * x)와 cos(pi * x)의 보다 정확한 계산을 위해 제공됩니다.

각도를 라디안 대신 사용하여 삼각 함수를 계산하려면 함수 뒤에 d를 붙입니다. 예를 들어, sind(x)는 x가 각도로 지정된 경우 x의 사인 값을 계산합니다. 각도 변형이 있는 삼각 함수의 전체 목록은 다음과 같습니다:

sind   cosd   tand   cotd   secd   cscd
asind  acosd  atand  acotd  asecd  acscd

Special functions

패키지 SpecialFunctions.jl에서 제공하는 많은 다른 특별한 수학 함수가 있습니다.