Mathematical Operations and Elementary Functions

Julia 提供了一整套基本算术和按位运算符，适用于所有数值原始类型，并且提供了便携、高效的标准数学函数的全面实现。

Arithmetic Operators

以下 arithmetic operators 在所有原始数字类型上都受支持：

一个数字字面量直接放在标识符或括号之前，例如 2x 或 2(x + y)，被视为乘法，优先级高于其他二元操作。有关详细信息，请参见 Numeric Literal Coefficients。

Julia的提升系统使得对不同类型参数的混合进行算术运算“自然且自动地”工作。有关提升系统的详细信息，请参见 Conversion and Promotion。

÷ 符号可以通过在 REPL 或 Julia IDE 中输入 \div<tab> 方便地输入。有关更多信息，请参见 manual section on Unicode input。

这里有一些使用算术运算符的简单示例：

julia> 1 + 2 + 3
6

julia> 1 - 2
-1

julia> 3*2/12
0.5

（根据惯例，如果运算符在其他附近运算符之前应用，我们倾向于将运算符的间距缩得更紧。例如，我们通常会写 -x + 2 来反映首先对 x 取负，然后将 2 加到该结果上。）

在乘法中，false 作为 强零 作用：

julia> NaN * false
0.0

julia> false * Inf
0.0

这对于防止已知为零的数量中传播 NaN 值是有用的。请参见 Knuth (1992) 以获取动机。

Boolean Operators

以下 Boolean operators 在 Bool 类型上受支持：

否定将 true 变为 false，反之亦然。短路操作在链接页面中进行了说明。

注意，Bool 是一种整数类型，所有通常的提升规则和数值运算符也适用于它。

Bitwise Operators

以下 bitwise operators 在所有原始整数类型上都受支持：

这里有一些位运算符的示例：

julia> ~123
-124

julia> 123 & 234
106

julia> 123 | 234
251

julia> 123 ⊻ 234
145

julia> xor(123, 234)
145

julia> nand(123, 123)
-124

julia> 123 ⊼ 123
-124

julia> nor(123, 124)
-128

julia> 123 ⊽ 124
-128

julia> ~UInt32(123)
0xffffff84

julia> ~UInt8(123)
0x84

Updating operators

每个二进制算术和按位运算符都有一个更新版本，它将操作的结果赋值回其左操作数。二进制运算符的更新版本是在运算符后面立即放置一个 =。例如，写 x += 3 等同于写 x = x + 3：

julia> x = 1
1

julia> x += 3
4

julia> x
4

所有二进制算术和按位运算符的更新版本是：

+=  -=  *=  /=  \=  ÷=  %=  ^=  &=  |=  ⊻=  >>>=  >>=  <<=

julia> x = 0x01; typeof(x)
UInt8

julia> x *= 2 # Same as x = x * 2
2

julia> typeof(x)
Int64

Vectorized "dot" operators

对于 每个 二元运算符，如 ^，都有一个对应的 "点" 运算符 .^，它 自动 定义为在数组上逐元素执行 ^。例如，[1, 2, 3] ^ 3 是未定义的，因为对（非方形）数组进行 "立方" 没有标准的数学意义，但 [1, 2, 3] .^ 3 被定义为计算逐元素（或 "向量化"）的结果 [1^3, 2^3, 3^3]。 对于像 ! 或 √ 这样的单元运算符，同样有一个对应的 .√，它逐元素应用该运算符。

julia> [1, 2, 3] .^ 3
3-element Vector{Int64}:
  1
  8
 27

更具体地说，a .^ b 被解析为 "dot" call (^).(a,b)，它执行一个 broadcast 操作：它可以组合数组和标量、相同大小的数组（逐元素执行操作），甚至不同形状的数组（例如，组合行向量和列向量以生成矩阵）。此外，像所有向量化的“点调用”一样，这些“点运算符”是融合的。例如，如果你计算 2 .* A.^2 .+ sin.(A)（或等效地使用 @. 2A^2 + sin(A)，使用 @. 宏）对于数组 A，它会对 A 执行一个单一循环，为 A 的每个元素 a 计算 2a^2 + sin(a)。特别地，像 f.(g.(x)) 这样的嵌套点调用是融合的，而“相邻”的二元运算符如 x .+ 3 .* x.^2 等价于嵌套点调用 (+).(x, (*).(3, (^).(x, 2)))。

Furthermore, "dotted" updating operators like a .+= b (or @. a += b) are parsed as a .= a .+ b, where .= is a fused in-place assignment operation (see the dot syntax documentation).

注意，点语法也适用于用户定义的运算符。例如，如果你定义 ⊗(A, B) = kron(A, B) 来为 Kronecker 乘积提供一个方便的中缀语法 A ⊗ B（kron），那么 [A, B] .⊗ [C, D] 将计算 [A⊗C, B⊗D]，无需额外编码。

将点运算符与数字字面量结合可能会造成歧义。例如，1.+x 并不清楚是指 1. + x 还是 1 .+ x。因此，这种语法是不允许的，在这种情况下必须在运算符周围使用空格。

Numeric Comparisons

标准比较操作适用于所有原始数值类型：

这里有一些简单的例子：

julia> 1 == 1
true

julia> 1 == 2
false

julia> 1 != 2
true

julia> 1 == 1.0
true

julia> 1 < 2
true

julia> 1.0 > 3
false

julia> 1 >= 1.0
true

julia> -1 <= 1
true

julia> -1 <= -1
true

julia> -1 <= -2
false

julia> 3 < -0.5
false

整数以标准方式进行比较——通过比特比较。浮点数的比较依据 IEEE 754 standard：

• 有限数以通常的方式排序。
• 正零等于但不大于负零。
• Inf 等于它自己，并且大于除了 NaN 以外的所有其他值。
• -Inf 等于它自己，并且小于除了 NaN 以外的所有其他值。
• NaN 不等于、也不小于、也不大于任何东西，包括它自己。

最后一点可能令人惊讶，因此值得注意：

julia> NaN == NaN
false

julia> NaN != NaN
true

julia> NaN < NaN
false

julia> NaN > NaN
false

并且在处理 arrays 时可能会导致头痛：

julia> [1 NaN] == [1 NaN]
false

Julia 提供了额外的函数来测试数字的特殊值，这在哈希键比较等情况下非常有用：

isequal 将 NaN 视为彼此相等：

julia> isequal(NaN, NaN)
true

julia> isequal([1 NaN], [1 NaN])
true

julia> isequal(NaN, NaN32)
true

isequal 还可以用来区分有符号零：

julia> -0.0 == 0.0
true

julia> isequal(-0.0, 0.0)
false

混合类型的比较（有符号整数、无符号整数和浮点数之间）可能会很棘手。为了确保 Julia 正确地进行这些比较，已经进行了大量的工作。

对于其他类型，isequal 默认调用 ==，因此如果您想为自己的类型定义相等性，则只需添加一个 4d61726b646f776e2e436f64652822222c20223d3d2229_40726566 方法。如果您定义了自己的相等性函数，您可能还应该定义一个相应的 hash 方法，以确保 isequal(x,y) 意味着 hash(x) == hash(y)。

Chaining comparisons

与大多数语言不同，notable exception of Python，比较可以任意链式连接：

julia> 1 < 2 <= 2 < 3 == 3 > 2 >= 1 == 1 < 3 != 5
true

链式比较在数值代码中通常非常方便。链式比较使用 && 运算符进行标量比较，而使用 & 运算符进行逐元素比较，这使得它们可以在数组上工作。例如，0 .< A .< 1 会生成一个布尔数组，其条目在 A 的相应元素介于 0 和 1 之间时为真。

注意链式比较的评估行为：

julia> v(x) = (println(x); x)
v (generic function with 1 method)

julia> v(1) < v(2) <= v(3)
2
1
3
true

julia> v(1) > v(2) <= v(3)
2
1
false

中间的表达式只会被评估一次，而不是像将表达式写成 v(1) < v(2) && v(2) <= v(3) 时那样评估两次。然而，链式比较中的评估顺序是未定义的。强烈建议不要在链式比较中使用具有副作用的表达式（例如打印）。如果需要副作用，应显式使用短路 && 运算符（参见 Short-Circuit Evaluation）。

Elementary Functions

Julia 提供了一套全面的数学函数和运算符。这些数学运算被定义在尽可能广泛的数值类别上，以便进行合理的定义，包括整数、浮点数、有理数和复数，只要这些定义是合理的。

此外，这些函数（像任何Julia函数一样）可以以“向量化”的方式应用于数组和其他集合，使用 dot syntax f.(A)，例如 sin.(A) 将计算数组 A 中每个元素的正弦值。

Operator Precedence and Associativity

朱莉亚按照以下运算的顺序和结合性进行操作，从最高优先级到最低优先级：

有关 每个 Julia 运算符优先级的完整列表，请参见此文件的顶部： src/julia-parser.scm。请注意，那里的一些运算符在 Base 模块中未定义，但可能会由标准库、包或用户代码提供定义。

您还可以通过内置函数 Base.operator_precedence 查找任何给定运算符的数值优先级，其中较高的数字具有优先权：

julia> Base.operator_precedence(:+), Base.operator_precedence(:*), Base.operator_precedence(:.)
(11, 12, 17)

julia> Base.operator_precedence(:sin), Base.operator_precedence(:+=), Base.operator_precedence(:(=))  # (Note the necessary parens on `:(=)`)
(0, 1, 1)

一个表示运算符结合性的符号也可以通过调用内置函数 Base.operator_associativity 来找到：

julia> Base.operator_associativity(:-), Base.operator_associativity(:+), Base.operator_associativity(:^)
(:left, :none, :right)

julia> Base.operator_associativity(:⊗), Base.operator_associativity(:sin), Base.operator_associativity(:→)
(:left, :none, :right)

请注意，像 :sin 这样的符号返回优先级 0。这个值表示无效的运算符，而不是最低优先级的运算符。同样，这些运算符被分配了结合性 :none。

Numeric literal coefficients，例如 2x，被视为乘法，其优先级高于任何其他二元运算，除了 ^，在作为指数时它们的优先级更高。

julia> x = 3; 2x^2
18

julia> x = 3; 2^2x
64

并列解析起来像一个一元运算符，它在指数周围具有相同的自然不对称性：-x^y 和 2x^y 解析为 -(x^y) 和 2(x^y)，而 x^-y 和 x^2y 解析为 x^(-y) 和 x^(2y)。

Numerical Conversions

Julia 支持三种数值转换形式，它们在处理不精确转换时有所不同。

• 符号 T(x) 或 convert(T, x) 将 x 转换为类型 T 的值。

  • 如果 T 是浮点类型，则结果是最接近的可表示值，这可能是正无穷大或负无穷大。
  • 如果 T 是整数类型，当 x 不能被 T 表示时，将引发 InexactError。

• x % T 将整数 x 转换为与 x 模 2^n 同余的整数类型 T 的值，其中 n 是 T 中的位数。换句话说，二进制表示被截断以适应。

• Rounding functions 将类型 T 作为可选参数。例如，round(Int,x) 是 Int(round(x)) 的简写。

以下示例展示了不同的形式。

julia> Int8(127)
127

julia> Int8(128)
ERROR: InexactError: trunc(Int8, 128)
Stacktrace:
[...]

julia> Int8(127.0)
127

julia> Int8(3.14)
ERROR: InexactError: Int8(3.14)
Stacktrace:
[...]

julia> Int8(128.0)
ERROR: InexactError: Int8(128.0)
Stacktrace:
[...]

julia> 127 % Int8
127

julia> 128 % Int8
-128

julia> round(Int8,127.4)
127

julia> round(Int8,127.6)
ERROR: InexactError: Int8(128.0)
Stacktrace:
[...]

查看 Conversion and Promotion 以了解如何定义您自己的转换和促销。

Rounding functions

Division functions

Sign and absolute value functions

Powers, logs and roots

有关为什么像 hypot、expm1 和 log1p 这样的函数是必要和有用的概述，请参阅 John D. Cook 关于该主题的优秀博客文章对：expm1, log1p, erfc 和 hypot。

Trigonometric and hyperbolic functions

所有标准的三角函数和双曲函数也被定义为：

sin    cos    tan    cot    sec    csc
sinh   cosh   tanh   coth   sech   csch
asin   acos   atan   acot   asec   acsc
asinh  acosh  atanh  acoth  asech  acsch
sinc   cosc

这些都是单参数函数，atan 还接受两个参数，对应于传统的 atan2 函数。

此外，sinpi(x) 和 cospi(x) 被提供用于更准确地计算 sin(pi * x) 和 cos(pi * x)。

为了使用度数而不是弧度计算三角函数，请在函数后加上 d。例如，sind(x) 计算 x 的正弦，其中 x 以度数表示。带有度数变体的三角函数完整列表是：

sind   cosd   tand   cotd   secd   cscd
asind  acosd  atand  acotd  asecd  acscd

Special functions

许多其他特殊数学函数由包 SpecialFunctions.jl 提供。